Matemática básica Ejemplos

$z = \frac{1}{z^{2}}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, z^{2}$

Paso 1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$z^{2}$

Paso 2

Multiplica cada término en $z = \frac{1}{z^{2}}$ por $z^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $z = \frac{1}{z^{2}}$ por $z^{2}$ .

$z \cdot z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Multiplica $z$ por $z^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $z$ por $z^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$z^{1} z^{2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z^{1 + 2} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Paso 2.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $z^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$z^{3} = \frac{1}{z^{2}} z^{2}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$z^{3} = 1$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$z^{3} - 1 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$z^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = z$ y $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $z$ por $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

Paso 3.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $z - 1$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 3.4.1

Establece $z - 1$ igual a $0$ .

$z - 1 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 1$

Paso 3.5

Establece $z^{2} + z + 1$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 3.5.1

Establece $z^{2} + z + 1$ igual a $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $z^{2} + z + 1 = 0$ en $z$ .

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Paso 3.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ verdadera.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$